金融期权价格基础知识:布菜克一斯科余澌期权走价公式

一、一些预备知识

(一)马尔可夫过程

随机过程，是指某变置的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。它可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。严格地说，证券价格的变化过程属于离散时间随机过程，但可以把它近似为连续时间的随机过程。

马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中，只有变量的当前值、才与未来的预期有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预期无关。

如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于现在的值。

(二)布朗运动

布朗运动，又称维纳过程。它包括标准布朗运动和普通布朗运动。

1.标准布朗运动

设，δt代表一个小的时间间隔长度，δz代表变量z在δt时间内的变化。

那么，遵循标准布朗运动的δz、δt具有两种特征：

特征一：δz和δt满足:

其中，ε是从标准正态分布中取的一个随机值。

特征二：对于任何两个不同时间间隔，δt、δz的值是相互*立的。

特征一说明，δz本身也具有正态分布特征，其均值为0,方差为δt。

特征二说明，标准布朗运动也符合马尔可夫过程，是马尔可夫过程的一种特殊形式。

设，T为一段较长的时间；z(t)-z(0)表示变量在了中的变化量，它可被看作是在N个长度为δt的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/δt。

其中εi,(i=l，2,3…N)是标准正态分布的随机抽样值。根据特征二，εi相互*立，因此，z(T)~z(0)也具有正态分布特征，其均值为0,方差为Nδt=T,标准差为√T。

当δt→0时，就可以得到*限的标准布朗运动：

2.普通布朗运动

*先引入两个概念:漂移率和方差率。?移率是单位时间内变z均值的变化值。方差率是指单位时间的方差。

标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1。漂移率为0,意味着未来任意时刻z的均值等于它的当前值。方差率为1,意味着在一段长度为了的时间段后，z的方差为lXT。

令，漂移率的期望值为a，方差率的期望值为6。就得到随机变量x的普通布朗运动：

dx=adt+bdz(11.4)

其中，a、b均为常数，遵循标准布朗运动。

根据(11.1)和(11.4)，在短时间后，x值的变化值δx为：

因此，δx也具有正态分布特征，其均值为aδt，标准差为b √δt方差为b^2δt

同样，在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为b√T，方差为b2T。

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